מינוי מומחה מוסכם על ידי שני הצדדים

שלום, עו"ד שלי ועו"ד של חברת ביטוח הגיעו להסכמה על מינוי מומחה מטעמם בתחום אורטופדיה.עו"ד שלי אמר שחברת ביטוח התחייבה לשלם עבור הבדיקה.עו"ד של חברת ביטוח הגישה את ההסכמה לבית המשפט(מומחה זה לפי פסקי דין שראיתי בהמשך משמש גם כמומחה מטעם בית המשפט לפעמים). כשהתקשרתי למרכז מידע של בתי משפט לתדהמתי קיבלתי תשובה שהשופטת כתבה שבהתאם להסכמת הצדדים היא ממנה את X כמומחה מטעם בית המשפט וששכרו של המומחה על סך X ישולם על ידי הצדדים בחלקים השווים 1)לא ברור לי למה השופטת רשמה שזה מינוי מטעם בית המשפט כאשר שני הצדדים מסרו את שם המומחה בעצמם למרות כמו שציינתי הוא משמש מידי פעם כמומחה מטעם בית המשפט 2)למה היא בכלל קבעה את הסכום לתשלום בחלקים שווים כאשר עו"ד שלי אמר שאם זה רופא מוסכם בין הצדדים אז חברת ביטוח אמורה לשלם את הבדיקה .האם הרופא עצמו לא אמור לקבוע מהו סכום שהוא לוקח עבור בדיקה? ומה אפשר לעשות במקרים האלה אחרי שהשופטת נתנה החלטה. האם אפשר עדיין לדרוש שחברת ביטוח תשלם כי זה מה שהוסכם בין עו"ד שלי לעו"ד של חברת ביטוח